我们知道，在十进制中，数字前面用减号来表示负数，而计算机只有 0 和 1，没有其他任何符号，它怎么表示负数呢？

这就涉及到编码的问题了。

计算机中的编码

计算机内部用补码表示数字，高位为符号位，0开头表示正数，1开头表示负数。

二进制中的原码、反码和补码描述如下。

  • 原码：就是数字本身。比如 1110 的原码就是 1110。

  • 反码：将原码除符号位按位取反就是反码。比如 1110 的反码是 1001。

  • 补码：将反码加 1 就是补码。比如 1110 的反码是 1001，补码就是 1010。

正数的原码、反码、补码都相同，都等于原码；负数的反码等于除符号位按位取反，负数的补码等于反码末位加1。

比如0110，是以0开头的，就是正数，它的原码、反码、补码都是0110；再比如上述的1110，它是以1开头的，就是负数，所以就用上述方式计算它的反码和补码。

这听着真费劲，那为什么要有补码呢？

为了简化减法运算！使用补码可以将减法变成加法。这怎么理解呢？

十进制的补码等于用 9 减去各个位置的数字后末位再加 1，比如 1 的补码是 9，2 的补码是 8……以此类推。

先来看个问题：比如：9-4，4 的补码是 6，我们就变成 9+6，结果是 15，我们再去掉最高位的 1，结果是 5，所以 9-4=5。换句话说就是：数 A 减去数 B 等于数 A 加上数 B 的补码，然后砍掉最高位。

再比如：81-21=81+(78+1)=81+79=160，去掉最高位的 1，就是 60，结果也是成立的。

有人说，这不对啊，你这计算补码的时候，要用 9 减去各个位子的数字，这本身就做了一次减法啊。是！但是这是 10 进制，二进制就不需要了，二进制只需要按位取反，末位再加 1，就行了。

比如：二进制的减法：0110−00010110-00010110−0001，-0001的原码是1001，那反码就是 1110，补码就是 1111。换成补码计算就是 0110+11110110+11110110+1111，结果是：10101，去掉最高位就是 0101，也就是 5，答案明显是对的。

唉，等等等等，那就是说：0110-0001=0110+1111，而我们又知道：0110-0001=0110+(-0001)，那是不是意味着 -0001 就等于 1111 呢。

聪明！

如果用补码表示二进制，那么高位就表示符号位置：如果高位是 1，就表示负数；如果高位是 0，就表示正数。

所以 1111 就表示负数，它对应的原码等于对它再次求补码，1111 的反码是 1000，补码就是 1001，高位是 1，表示负数，所以就是 -0001，所以就有：1111=(-0001)。这就是二进制的神奇之处。

所以，为什么要用补码呢？

因为可以避免负数和减法，利用高位溢出，将减法变成加法。这样，计算机就不用设计减法器了，直接用加法器就可以做减法了。

计算机只有加法器，没有减法器。

那么，只有负数使用补码表示吗？

不是，在计算机中，所有数字都使用补码表示，只不过正数的补码等于原码，负数的补码等于对应的正数按位取反后末位加1，所以，我们一般的计算中，只需要注意负数就行了。

计算机用补码表示所有数字。正数的反码和补码都等于原码，负数的反码等于除符号位外其他位按位取反，负数的补码等于反码加 1。

二进制 反码 补码
正数 等于原码 等于原码
负数 除符号位按位取反 反码加1

现在我们知道了二进制的加法和减法，那么二进制的乘除怎么计算呢？

那就是位运算了。

位运算

按位与（&）

按位与运算就是：将各个数位的数字进行逻辑与，都是 1 才为 1，否则为 0。

比如：110&011=010 110 。因为只有第二位都是 1，那么其他位都为 0，所以就是 010。

再比如：1111&111=0111，由于 111 是三位数，所以高位补个 0，那么结果就是 0111。

你说这些我都知道了，所以这有什么用？

使用与运算可以消除指定位置的数字。也可以判断是否具有某个标记。

比如：我要取一个 8 位数的高 4 位，那么我就让它和 1111 0000 进行按位与运算，这样，它的低 4 位一定都是 0，高 4 位原来是 1 还是 1，原来是 0 还是 0，这样也就等于：消除了它的低 4 位，只取它的高 4 位。

好，这我也知道了，所以这又有啥用呢？要不上个代码我看看？

好，上代码，现在来模拟某奇艺的会员制度：

int vip = 0000 0001 // 表示vip 能看收费剧了
int svip = 0000 0011 // 表示svip 能看提前播放的剧了
int vipp = 0000 0111 // 表示vip中p // 能跳过vip广告了
int svipp = 0000 1111 // 表示svip中p // 能跳过svip广告了
int tvip = 0001 1111 // 表示电视vip，能投屏了。

// 是否是vip
boolean isVip(int flag) {
    return vip&flag == vip; 
}

// 是否是svip
boolean isSvip(int flag) {
    return svip&flag == svip;
}

// 是否是tvip
boolean isTvip(int flag) {
    return tvip&flag == tvip;
}

...

现在假设你的 vip 标记和我的 vip 标记如下：

int uFlag = 0000 0011 // 你的vip标记

int mFlag = 1111 1111 // 我的vip标记

好，现在拿着你的 vip 标记uFlag去试试，是不是 vip 呢？计算了下是，而且也是 svip。但是也仅仅是 svip 了。拿着我的去呢？直接挑最大的 tvip 试试，发现是的，那么也是其他的 vip 了。

这里你可以看到，一个 int 型的 flag 值，就可以表示这么多 vip 了，这不比你用一个个的布尔值表示来得香？

代码 x 格直接上升了一个 level，可以去跟比人装 x 了。

按位或（|）

按位或运算就是：将各个数位的数字进行逻辑或，都是 0 才为 0，否则为 1。

理解了上述的按位与运算，这个就很好理解了。

比如还是上述的两个数：110∣011=111，1111∣111=1111，011∣001=011。

这里就不再解释了。那么它有啥子用呢？

使用或运算可以给指定位置添加标记。 说白了就是，可以给指定位置设置为 1。

比如：0011 1001 这个数字，我要将它的低 4 位全部设置成 1，而高 4 位不变。那么就让它跟 0000 1111 进行或运算：00111001||00001111=00111111，因为跟 0 进行或运算，结果是本身，跟 1 进行或运算，结果是 1，所以答案就不解释了。

嗯，你又知道了，这又有啥子用呢？

上代码。还是上述的 vip，比如你现在充了 10086 块钱，开了个视频 vip，那么我怎么给你开通呢？很简单：

...
int tvip = 0001 1111 // 表示电视vip，能投屏了。

// 开通tvip
int openTvip(int flag){
    return tvip|flag;
}

假设你啥都不是，只要进行了openTvip()操作，就直接是 tvip 了，这就是或运算的添加标记功能。

现在，你已经能用与运算和或运算来实现：添加、删除、判断，这些操作了。后面如果有类似的需求，请大胆地使用它们。

异或（^）

异或运算就是：将各个位置数字进行异或，相同为 0，不同为 1。

比如：1111 ^ 1111 = 0000，0000 ^ 1111 = 1111。

说白了就是：将相同的除去。

一个数和 0 异或等于它本身。

如果你原来是 1，那么就和 0 不同，不同的两个数异或等于 1，就是你本身；如果是 0，就和 0 相同，相同的两个数异或等于 0，还是你本身，所以：一个数和 0 异或等于它本身。

一个数和自身异或等于 0。

这个就不解释了，因为相同，异或肯定是 0。

那这有啥用呢？除去相同的。

我们先来看一个骚操作：交换两个变量的值。

一般的写法：

int temp = a;
a = b;
b = temp;

二般的写法：

a = a + b;
b = a - b;
a = a - b;

三般的写法：

a = a ^ b;
b = a ^ b;
a = a ^ b;

二般的写法就不说了，虽然是对的，但是有溢出的风险。而且也容易看懂。

三般的这里解释下：

  • a = a ^ b; 此时 a 就是 a^b;

  • b = a ^ b; 也就是 b = (a^b)^b = a^b^b = a^(b^b)；而相同的数字异或等于 0，那就是 a^0，也就是 a，此时 b=a 了。

  • a = a ^ b; 此时经过第一步运算 a=a^b，经过第二步运算 b=a，所以 a = (a^b)^a = a^a^b = 0^b，也就是 b。

好，这里就不废话了。

我们再来看实际的应用，比如：我们开发了个打卡机，每天要进行签到签退，每次签到签退都会记录员工号，那么既然如此，一个人的工号肯定出现偶数次，如果是奇数次，就肯定有缺卡记录，那么怎么找出来呢？

很简单，异或啊！

我们直接遍历所有的员工号，挨个进行异或，那么最后得出的那个数字，就是缺卡的那个员工。因为其他的都经过两次异或变为 0 了。

代码如下：

int findNumber(int[] nums) {
   int result = nums[0];
   for (int i = 1; i < nums.Length; i++){
       result ^= nums[i];
   }
   return result;
}

这里就不废话了，直接看代码即可。

非（!）

按位非就是：将所有位置的数字取反，原来是 0 就变为 1，原来是 1 就变为 0。

那么它有啥用途呢？

首先我们能想到的就是：求反码。

再比如：开关操作。

考察如下代码：

if(a = false) {
    a = true;
} else {
    a = false;
}

这看着可真别扭啊，直接改成：

a = !a；

简单明了。

左移（«）

左移运算就是：将所有数字向左边移动 n 位，右边补 0。

比如我们先看 10 进制的左移，100，向左边移动 2 位，100__ ，然后右边补 0：10000，等于变为原来的 100 倍了。

同样的二进制也是这样，比如 0011，左移 3 位就变成 11000，原来是 3，现在是 24，变为原来的 8 倍了，所以可以得出结论，在 2 进制中，左移动 n 位，就等于乘以 2^n 倍。

这个结论可以用于乘法运算，比如，要计算：a×15，考虑到 15=16-1，16 是 2^4，所以就可以计算为：a«4−a，这样就不用计算乘法了（计算机计算乘法的效率比较低）。

左移运算还有个用途，就是可以丢掉高位，比如一个 8 位数：1000 1111，左移 4 位就变成：1111 0000，原来的高 4 位，被移出去了，只剩下低 4 位了。

左移运算在不溢出的情况下等于乘法，在溢出的情况下等于裁掉高位。

右移（»）

右移运算就是：将所有数字向右边移动 n 位，左边补符号位，正数就补 0，负数就补 1。

这个也很好理解，比如：0111>>1=0011，因为是正数，所以左边补 0。

切记，对于负数的右移要转为补码来计算。

比如：要计算-5右移1位，

  • 先计算-5的补码，也就是1011
  • 执行位运算: 1011>>1=1101，因为1011是负数，所以高位补1
  • 再把1101求一次补码，得到原码: 1011，因为1101是负数，所以就是-3。

这就有问题了，-5右移1位不应该也是除以2吗，那就应该是-2啊，怎么是-3呢？ 没错，它就是不等于，原因就在于高位补符号位置了，这个不用纠结了，即使强迫症晚上睡不着觉也没法。

那么，负数的右移不等于除法，我要怎么快速计算呢？很简单，先使用正数做右移，完了再转成负数就行了。

比如，还是-5，我们想除以2，我们可以先计算5的右移:

0101>>1=0010，也就是2，也就是0010，我们把最高位符号位改为1，就是1010，也就是-2的原码，这样我们就计算出了-5除以2的结果。

其实你不用纠结，这个原理我们只要知道就行，至于这些计算的事情，让计算机去干！

正数的右移运算等于做除法，负数的右移不等于做除法。

比如，上述的 0111>>1，因为最低位的 1 被移出去了，就变成变为 011，又因为符号位为 0，所以高位补 0，就变成了 0011，也就是 3，而原来的 0111 是 7，对于整型来说：7/2=3，等于除以 2。

所以，在 2 进制中，正数右移 n 位，就等于除以 2n倍2^n 倍2n倍。

右移运算在任何情况下都等于裁掉低位。

上述与运算我们说到，按位与可以消除指定位，如果配上右移，那就更合适了。比如我们用 1111 0100，这个数字的高 4 位表示年龄，低 4 位表示成绩，现在要知道这个人的年龄和成绩分别是多少。

  • 用与运算获取成绩：11110100&00001111 = 0000 0100，得到成绩。
  • 用右移运算获取年龄：11110100>>4=11111111，然后再用按位与运算去掉高 4 位的符号位，就得到 00001111，也就是年龄。

有人说，计算年龄有点费劲，我们有更简单的计算方法：无符号右移。

无符号右移（»>）

无符号右移跟右移一样，只不过左边永远补 0。

还是上面获取年龄的例子，1111 0100，无符号右移 4 位，高位补 0，就成了 0000 1111，直接就获取到了年龄。

移位运算分为逻辑移位和算数移位，如果你用二进制表示数值，那么高位就是符号位，此时为算术移位，右移则高位补符号位。如果你用二进制表示逻辑，比如上述的flag，那此时就是逻辑移位，右移则高位永远补0.

总结

本节我们讲了逻辑位运算和算术位运算，其实逻辑位运算就是一张真值表。

p q p与q p或q !p
0 0 0 0 1
1 0 0 1 0
0 1 0 1 1
1 1 1 1 0

至于怎么使用，就像海贼王的果实开发一样，全靠个人想象。

  • 左移：低位补 0，等于乘法。
  • 右移：高位补符号位，正数等于除法，负数可以先按正数计算，然后转成负数。
  • 无符号右移：高位补 0。

最后，一定要多使用逻辑位运算的添加、删除、判断 flag 位的功能，以及使用移位运算的乘除功能。